29. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Возможно ли проводить вычисления в квантовой электродинамике, заменив пропагатор на

и считая X конечной величиной? Тогда нам не встретилось бы расходимостей, а параметр обрезания можно было бы считать новой константой теории. К сожалению, такое построение не является внутренне последовательным.

Пусть, например, у нас есть атом в возбужденном состоянии. Вычислим две вероятности: (1) вероятность того, что он распадется (т. е. излучит фотон); (2) вероятность того, что он останется в возбужденном состоянии. Сумма этих двух вероятностей отличается от единицы на множитель, пропорциональный . Вероятность не сохраняется! Вы можете также увидеть это, записав исправленный пропагатор в форме

Такое представление отвечает введению пропагатора для липшего «фотона» или частицы массы . Знак минус означает, что его взаимодействие пропорционально , а не , т. е. такой фотон должен иметь мнимую константу связи . Гамильтониан оказывается не эрмитовым, вероятность не сохраняется, возникает хаос.

Никому не удалось решить такую задачу: построить теорию, которая была бы совместной с общими принципами квантовой механики (суперпозиция амплитуд) и теорией относительности и содержала бы произвольную функцию. Невозможно модифицировать пропагатор , не разрушив всю теорию. Обратите внимание на то, что такая трудность не возникает в нерелятивистской квантовой механике, где имеется произвольная функция — потенциал , который можно выбирать из широкого класса. Относительность плюс квантовая механика, по-видимому, приводят к очень сильным ограничениям, но мы, кроме того, несомненно, добавляем некоторые неизвестные неявные предположения (такие, как существование бесконечно малых расстояний в пространстве).

Мы вычислили суммарный вклад в собственную энергию от диаграмм, изображенных на рис. 29-1, и обнаружили, что он расходится логарифмически. Однако есть еще диаграммы типа, показанного на рис. 29-2.

Рис. 29-1.

Соответствующий член дает вклад порядка в и, следовательно, в . Он пропорционален . Могло бы оказаться, что при учете всех таких диаграмм собственная энергия стала бы конечной.

Рис. 29-2.

Рис. 29-3.

Гелл-Манн и Лоу просуммировали подобные члены, содержащие высшие степени , и показали, что результат все еще расходится. Оказывается, что С имеет вид

где — численные коэффициенты. Имеется еще один новый тип диаграмм, который следовало бы обсудить.

В таких диаграммах рождается пара, которая затем аннигилирует. Примеры подобных диаграмм приведены на рис. 29-3.

Обратимся к некоторым эффектам от виртуальных фотонов (радиационным поправкам). Рассмотрим, например, рассеяние электрона на потенциале (см. обсуждение смысла потенциала в лекции 30). Диаграммы низшего порядка, содержащие виртуальные фотоны, показаны на рис. 29-4.

Рис. 29-4.

Поправка к константе связи (множитель в пропагаторе) сокращается, когда мы добавляем вклады от трех приведенных диаграмм. Чистый эффект, при достаточно малых энергиях, состоит в сглаживании потенциала на расстояниях порядка комптоновской длины волны. Очень грубо:

В атоме такое изменение потенциала приводит к смещению энергетических уровней. Рассмотрим атом водорода.

Для чисто кулоновского потенциала между электроном и протоном теория Дирака предсказывает, что и -состояния имеют в точности одинаковую энергию. Однако мы видели, что эффективный протон-электронный потенциал содержат член, пропорциональный

Поскольку исчезает везде, кроме окрестности начала координат, этот члея влияет только на энергию -уровня, который сдвигается примерно на 1000 МГц.

Если учесть также поправку от диаграммы рис. 29-5 (вакуумная поляризация), то теория предсказывает сдвиг . Эта цифра слегка противоречит эксперименту и, вероятно, следует провести вычисления в следующем порядке теории возмущений.

Рис. 29-5.

Если внешний потенциал соответствует магнитному полю, то эффект виртуальных фотонов приводит к изменению магнитного момента электрона. Этот магнитный момент был вычислен до порядка , и результат имеет вид

где . (Правильный коэффициент при был лишь недавно получен Питермапом и Зоммерфилдом. Первое вычисление Карплуса и Кролла дало ).

Рис. 29-6.

Магнитный момент измеряется по отношению ( — магнитный момент протона). Измерения весьма точны. Однако сейчас имеются два экспериментальных значения, противоречащих друг другу: одно дает , а другое — (ссылка [12]).

Перенормировка заряда.

Как я уже говорил, в электродинамике есть еще одна бесконечность. Она соответствует диаграммам типа рис. 29-6, в которых содержатся виртуальные эдектрон-позитронные пары. Мы снова можем просуммировать диаграммы, приведенные на рис. 29-7.

Соответствующий ряд имеет вид

где X — вклад электрон-позитронной петли.

Оказывается, что при малых вклад , где стремится к постоянной (в действительности это верно во всех порядках по ).

Поэтому

Полюс пропагатора по-прежнему находится в . Поэтому масса покоя электрона остается равной нулю.

Рис. 29-7.

Однако множитель всегда будет умножаться на . Поэтому экспериментально измеряемый заряд еэксл равен

Этот эффект называется перенормировкой заряда. Однако при вычислении вы опять получите бесконечность. Можно, конечно, поправить эту логарифмическую расходимость так же, как это было сделано с массой. Как мы видели, можно привести физический пример перенормировки массы: разность масс заряженной и нейтральной частиц (см. лекцию 28).

В то же время нет способа придать физический смысл перенормировке заряда.Однако мы знаем, что

Допустим, что будущая теория даст какую-либо простую формулу для теоретического значения заряда. Например, корень функции Бесселя или что-нибудь вроде

Но для сравнения с экспериментом необходимо провести перенормировку заряда, в результате которой вы получите . Все это, разумеется, чистая фантазия!

Посмотрим теперь, что же такое есть X. Нам следует вычислить вклад диаграммы рис. 29-8.

Рис. 29-8.

Следуя электронной линии вдоль замкнутой петли, мы получаем

= амплитуда аннигиляции фотона,

= амплитуда распространения электрона между двумя фотонными вершинами,

= амплитуда испускания фотона с поляризацией ,

= амплитуда распространения электрона назад к исходной точке.

Полная амплитуда есть поэтому

где — начальное состояние электрона (которое не должно удовлетворять уравнению Дирака, поскольку оно представляет виртуальный электрон). Однако все возможные импульсы и начальные состояния могут возникнуть. Поэтому

Детали вычисления интеграла содержатся в ссылке [11]. Предложение о том, как избавиться от бесконечности, было впервые дано Паули и Бете.

Рис. 29-9.

Оказывается невозможным модифицировать электронный пропагатор введением обрезающего множителя, поскольку при этом нарушается градиентная инвариантность результата. Вместо этого следует построить подынтегральное выражение, используя массу электрона , а затем вычесть из него такое же выражение, соответствующее некоторой другой массе М. Результат все еще логарифмически расходится, но может быть сделан сходящимся заменой на .

Рис. 29-10.

Рис. 29-11.

Перенормировка заряда связана не только с виртуальными парами электрон-позитронов, но также с парами любых заряженных частиц-античастиц. Отличается ли в результате перенормированный заряд электрона от, скажем, заряда протона? Ответ отрицателен.

Если электрон-фотонное взаимодействие модифицируется диаграммами типа рис. 29-9, то в протон-фотонное взаимодействие дают вклад подобные диаграммы (см. рис. 29-10). (В действительности, если мы учитываем мезоны, то есть еще дополнительные диаграммы, изображенные на рис. 29-11. Они дают вклад в аномальный магнитный момент, но не меняют полного заряда нуклонов.)