24. СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕХКОМПОНЕНТНОГО СПИНОРА

Рассмотрим теперь свойства четырехкомпонентного спинора

удовлетворяющего уравнению Дирака

или, в двухкомпонентной форме,

Отметим прежде всего, что имеются лишь два линейно независимых решения этого уравнения. Следовательно, оно представляет частицу со спином . Как преобразуется U? Как было показано, при лоренцевом преобразовании вдоль оси

Поэтому

Используя матрицы Дирака

введенные ранее, можно записать это преобразование в более компактном виде. С учетом того, что

получаем

а также

Так как рассмотренное преобразование соответствует вращению в -плоскости, мы вправе ожидать, что матрица описывает вращение в плоскости .

Проверим это. Используя введенное выше представление матриц , находим

и

Вернемся теперь к вопросу об описании спиновых состояний. Для покоящейся частицы уравнение Дирака будет просто

Поэтому

Отсюда ясно, что есть только лишь два решения, которые можно выбрать соответствующими спину вдоль и против какой-либо оси. Например, для спина вдоль оси z имеем

или

Однако, если частица движется, (поскольку и ведут себя различным образом при преобразованиях Лоренца). Следует соблюдать осторожность при описании направления спина движущейся частицы. Если мы выберем вдоль направления движения, то можно описать решения как соответствующие спину вверх (правая спиральность) и спину вниз (левая спиральность) уравнениями

Однако понятие «в вдоль направления движения» не является лоренц-инвариантным.

Если направлен произвольным образом, то нельзя найти решение уравнения Дирака, которое также является собственной функцией оператора (поскольку и не коммутируют). Постараемся найти другой способ описания спиновых состояний. Возвращаясь к системе покоя, имеем

Тогда также

Введем теперь новую лоренц-инвариантную матрицу

и запишем

Пусть также будет -вектором, удовлетворяющим соотношениям . В системе покоя и есть единичный вектор, направленный в произвольном направлении. В частности, если расположен вдоль оси , мы имеем . Поэтому U удовлетворяет соотношению .

Хотя мы и начинали с системы покоя, но полученные уравнения в силу лоренц-инвариантности справедливы в любой лоренцевой системе. Следовательно, для движущейся частицы два спиновых состояния являются собственными состояниями оператора . Физически они представляют состояния со спином вверх и вниз относительно некоторой оси в системе покоя частицы.

При решении конкретных задач мы, как правило, будем иметь дело с амплитудами, имеющими структуру где М есть некоторая комбинация матриц Дирака, а и — начальное и конечное спиновые состояния.

Задача обычно состоит в вычислении вероятности перехода, которая пропорциональна

где отличается от М изменением порядка следования всех матриц и заменой i на -i. (Из определения мы получаем , где означает эрмитово сопряжение. Это правило для нахождения М не выявляет инвариантности. Правило, данное выше, более просто. Проверьте сами, что оба правила согласуются. Например,

а также соотношение

являющееся весьма полезным.)

Имеются два способа вычисления таких произведений. Первый из них наиболее прямолинеен. Решите пару уравнений

для и , а затем вычислите

Однако гораздо более эффективный способ, который обычно и используется на практике, основан на следующем ухищрении. Допустим, что мы не интересуемся спинами в конечном состоянии. Иными словами, нам нужно вычислить величину

Она может быть записана в виде

где символом X обозначена матрица

(обратите внимание на «неправильный» порядок и ). Что же это за матрица? Возьмем координатную систему, в которой частица покоится: . Решения имеют вид (мы опускаем нижний индекс «2» и нормируем на )

Тогда

и

или, в инвариантном виде,

что справедливо в любой системе отсчета.

Другой способ, которым можно прийти к этому результату, основан на том, что закон матричного умножения дает формулу

суммирование в которой проводится не только по интересующим нас состояниям U с собственным значением , но также и по состояниям с собственным значением — . Но если мы возьмем , то обратим в нуль члены, соответствующие лишним состояниям , и получим для интересующих нас состояний. Поэтому

Если, кроме того, начальные состояния не поляризованы, то следует усреднить по обоим спинорам . Если теперь использовать тот факт, что

то мы получим

Позднее мы обсудим, как следует поступать, если нас интересуют поляризации.

Таким образом, наша общая задача сведена к вычислению шпура комбинации -матриц. Как же следует вычислять эти шпуры? Заметим прежде всего (взгляните на сумму диагональных элементов матриц , определенных в лекции 23), что

Для любых двух матриц А и В

где — комплексные числа.

Используя эти правила, находим

но

поэтому

Только один из шпуров отличен от нуля — это шпур единичной матрицы

Этот факт чрезвычайно упрощает нашу задачу: для того чтобы найти шпур любого сложного произведения матриц , следует лишь найти проекцию этого произведения на единичную матрицу. (Существуют шестнадцать линейно независимых произведений матриц , и любая матрица может быть представлена их линейной комбинацией подобно тому, как любая матрица представима линейной комбинацией трех матриц Паули и единичной матрицы.)

Шпуры любых произведений нечетного числа матриц равны нулю. Для того чтобы упростить произведение четного числа -матриц, поступим следующим образом:

но

поэтому

Метод заключается в том, чтобы передвигать крайнюю левую линейную комбинацию -матриц направо на каждом этапе, пользуясь тождеством

Когда достигнет крайнего правого положения, мы получим исходный шпур, но, в силу нечетного числа перестановок, с обратным знаком. Остальные шпуры теперь содержат произведения матриц , на две единицы меньшие. Всю процедуру следует повторять до тех пор, пока мы не сведем ответ к единичной матрице.