4. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ МОМЕНТОВ

Состояние со спином описывается двумя амплитудами. В общем случае

где обозначает столбец — столбец , а равно .

Например, решение уравнения

соответствующее спину, направленному вверх по оси , будет

Соответственно, для спина, направленного:

Более того, можно показать, что любое состояние (любая суперпозиция и представляет спин, ориентированный в каком-либо направлении.

Любая система, описываемая двумя комплексными числами, аналогична системе со спином . Рассмотрим, например, поляризацию света. Пусть -поляризация направлена по, а -поляризация против оси С в искусственном трехмерном пространстве. Две другие оси этого пространства мы обозначим и ). При этом спин по оси соответствует поляризации , а спин против оси — поляризации . Спин, направленный по оси , есть правая круговая поляризация (ПКП), а направление против оси соответствует левой круговой поляризации (ЛКП). Если мы нарисуем единичную сферу в этом новом пространстве (рис. 4-1), то каждое состояние поляризации будет представляться точкой на этой сфере.

Произвольное направление соответствует эллиптической поляризации. Прохождение света через четвертьволновую пластину представляет собой некоторое вращение. Приведенная связь между поляризацией света и направлением в трехмерном пространстве была когда-то использована Стоксом. Она оказывается полезной для понимания некоторых процессов, например, в мазерах. (Мазер представляет собой устройство, использующее систему — молекулу аммиака, — которая может переходить из одного состояния в другое под воздействием электрического поля. Принцип действия может быть легко понят, если представить состояние молекулы аммиака в любой момент времени через направление в некотором фиктивном трехмерном пространстве, аналогичном обычному пространству для электрона со спином .

Рис. 4-1

Правила сложения моментов. Пусть некоторый прибор рождает две частицы А и В. Допустим, что частица А имеет спин 1 и может существовать в трех состояниях: и что частица В со спином существует в двух состояниях . Для каждого из трех состояний А имеются два состояния В, поэтому система двух частиц может находиться в шести состояниях.

Такую систему можно представить, например, как электрон, вращающийся вокруг ядра. Каким способом следует описывать такую составную систему? Пусть матрицы момента импульса и действуют на состояния и . Тогда

или

Состояния составной системы приведены в таблице 4-1. Поскольку их всего шесть, то может создаться впечатление, что . Там, однако, нет значений , а состояния с входят дважды.

Таблица 4-1

В действительности величина приводит к двум значениям для :

и

Ясно, что состояние есть не что иное, как состояние (1) с параллельными спинами. Но какое же состояние соответствует Напомним, что

Поэтому действие суммарного оператора

будет

и, следовательно,

Таблица 4-2

Таблица 4-3

Таблица 4-4

Таблица 4-4 (продолжение)

С другой стороны,

Таким образом,

Состояние образуется линейной комбинацией состояний и , ортогональной к . Результаты приведены в таблице 4-2.

Еще примеры: Сложим два состояния (табл. 4-3) при различных проекциях спина. Затем сложим два состояния со спинами (табл. 4-4). При сложении двух одинаковых моментов состояние с максимальным спином симметрично, следующее антисимметрично и т. д.

Задача 4-1. Рассмотрите сложение трех состояний со . Найдите полностью симметричные состояния. Определите их момент.