27. ПРОЦЕССЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Рассмотрим рассеяние двух электронов. Член низшего порядка соответствует диаграмме

а также «обменной» диаграмме.

Допустим теперь, что мы хотим знать результат более точно. Тогда следует рассмотреть две диаграммы, изображенные на рис. 27-1.

Амплитуда для диаграммы а равна

Отметим, что мы интегрируем амплитуду по всем возможным -импульсам фотонов в промежуточных состояниях. Множители соответствуют распространению фотонов. Соглашение, использованное при написании выражений, стоящих в фигурных скобках, состоит в том, что движение справа налево в матричном элементе соответствует следованию вдоль стрелок по линиям частиц со спином .

Рис. 27-1.

При этом каждая из таких линий независима от других. Поэтому выражение

говорит, что частица в состоянии испускает фотон с поляризацией (множитель ), импульсом ; после движения, соответствующего фактору , она переходит в состояние в результате взаимодействия с другим виртуальным фотоном .

Интеграл в выражении для амплитуды можно вычислить. При больших он ведет себя как и является сходящимся. В нем, однако, содержится трудность, связанная с малыми , но она имеет хорошее физическое объяснение. Оказывается, что мы неправильно ставим вопрос, когда ищем амплитуду процесса рассеяния, в котором не испускается ни одного фотона, как это подразумевается диаграммой на стр. 144. В действительности мы не можем рассеять два электрона без того, чтобы не был испущен какой-либо низкоэнергетический фотон.

Вместо этого следует определить вероятность того, что в излучение не перешло энергии, большей некоторой величины . Она равна вероятности того, что не было испущено фотона, плюс вероятность того, что был испущен фотон энергии , плюс вероятность испускания двух фотонов с суммарной энергией и т. д. Первые два члена в порядке по отдельности расходятся, но если мы сложим их вместе, то получим конечный ответ.

Так, например, амплитуда для процесса с испусканием фотона малой энергии дает вклад вида . Если мы обрежем нижним предел на некотором и проведем аналогичные манипуляции с диаграммами а и б, то выпадает из суммарного выражения, так что можно будет перейти к пределу . Однако такой прямой процедуре нелегко придать релятивистски-инвариантную форму, вследствие чего она сопряжена с трудностями.

Рис. 27-2.

Вместо этого предположим, что фотон имеет очень маленькую массу (масса инвариантна) . Поэтому в фотонном пропагаторе заменим на . Тогда амплитуда для суммы диаграмм а и б содержит член . Вклад низшего порядка от этих диаграмм в вероятность пропорционален и является эффектом интерференции диаграмм рис. 27-1 и диаграммы низшего порядка . Вероятность процесса без испускания фотона пропорциональна выражению

где есть число, большее нуля.

Теперь еледует учесть диаграмму, изображенную на рис. 27-2. Мы найдем, что вероятность испускания одного фотона с энергией будет

Остальные численные множители совпадают.

Поэтому после сложения амплитуд вспомогательная масса X исчезает из члена порядка . Все подобные расходимости (именуемые инфракрасной катастрофой) исчезают при правильной постановке вопроса. Блох и Нордсик первыми нашли решение этой проблемы.

Можно было бы возразить, что когда , то и теория возмущений больше не верна. Однако тут достаточно свободного места для того, чтобы действовать последовательно. Выясним для этого, насколько малой может стать , прежде чем поправка перестанет быть малой. Потребуем, чтобы

или

т.е.

Рис. 27-3.

Таким образом, так называемая инфракрасная катастрофа в действительности вовсе не является катастрофой.

Обратимся далее к совершенно новому типу диаграмм. Фотон, испущенный электроном, может быть поглощен тем же самым электроном. Пример такого процесса дает рис. 27-3.

Соответствующая амплитуда равна

Здесь мы встречаемся с настоящей трудностью. При больших интеграл ведет себя как

и, поскольку, строго говоря мы должны интегрировать по всем , интеграл логарифмически расходится в области больших .

Этот факт именуется ультрафиолетовой катастрофой и, в отличие от предыдущего случая, это действительно катастрофа. Она не решена. Однако на самом деле у нас имеется способ замести мусор под ковер: во-первых, рассмотрим все диаграммы четвертого порядка (см. рис. 27-4); кроме них, имеется еще одна, пораженная другой болезнью, именуемой вакуумной поляризацией (рис. 27-5).

Рис. 27-4.

Рис. 27-5.

Рис. 27-6.

Прежде чем приступить к этим проблемам, рассмотрим простой случай. Во втором порядке имеется диаграмма, изображенная на рис. 27-6, соответствующая виртуальному поглощению и испусканию фотона электроном.

В этой диаграмме в действительности нет совсем свободных частиц. Для электрона, движущегося из в Y, полюс пропагатора свободной частицы находится в .

Однако, проводя измерения в X и Y, мы не можем определить, испускал и поглощал ли электрон какое-либо число фотонов. Такие процессы, простейший из которых приведен на рисунке, приводят к сдвигу положения полюса. Физически это означает, что та масса, которую мы измеряем ("экспериментальная" масса ), не есть «голая» масса, но что-то другое, включающее эффекты упомянутых виртуальных процессов. Математически мы определяем экспериментальную массу как положение полюса пропагатора с учетом указанных выше процессов. Это обсуждение показывает, что «голая» масса (которую мы теперь обозначим ) фактически не является непосредственно наблюдаемой. Используя этот факт, мы можем изобрести рецепт, который обходит (но не "решает") трудности с расходимостями в электродинамике. Однако это процедура отказывается служить для произвольных моделей взаимодействия, например, в псевдовекторной теории мезон-нуклонного взаимодействия.