21. ЗАДАЧИ

Задача 21-1: -рассеяние в . Есть две диаграммы:

и «обменная» диаграмма :

В системе центра масс . Поэтому

где есть угол между Р и Q, как показано на рис. 21-1, и .

Подобным образом

Складывая, получаем

Задача 21-2: -рассеяние (очень интересный случай). Процесс описывается диаграммой рис. 21-2. Как упоминалось в лекции 5, -мезон (античастица по отношению к с энергией-импульсом Р представляется -мезоном с -импульсом , движущимся вспять во времени.

Рис. 21-1.

Рис. 21-2.

Амплитуда элементарного процесса

учитывает, что имеет электрический заряд, противоположный заряду . Подобное соответствие всегда верно для заряженных частиц и их античастиц. Амплитуда процесса рассеяния равна поэтому

Поскольку и различны, то обменной диаграммы нет. Однако имеется аналог такой диаграммы.

Посмотрите на диаграмму, которую мы получаем, «меняя соединения» между внешними пионными линиями так, чтобы соединялось с , а не с , а соединялось с вместо :

и в которой начальные и аннигилируют, а виртуальный фотон воссоздает пионную пару в конечном состоянии. Матричный элемент в будет

Задача 21-3: комптон-эффект на -мезоне. Рассмотрим процесс . Он может идти тремя способами:

так как и :

Рассмотрим систему отсчета, в которой начальный пион покоится: . Положим . Тогда

и единственный вклад в матричный элемент идет из . Этот результат следует из нашего частного выбора калибровки . Заметьте, что амплитуда для каждой из диаграмм не градиентно инвариантна. В литературе часто встречаются бессмысленные утверждения об относительной величине вкладов различных диаграмм. Только сумма диаграмм градиентно инвариантна. Покажите это, продемонстрировав, что подстановка не дает вклада в поперечное сечение, т. е. что подстановки или дают нуль.

Рис. 21-3.

Рассмотрим систему, в которой начальный пион покоится: (см. рис. 21-3). Если регистрируется фотон, а не пион , мы можем получить удобную формулу, исключая подстановкой . Возводя в квадрат, получаем

или, в нашей системе,

что эквивалентно знаменитой формуле Комптона

для изменения частоты света, рассеянного на покоящейся частице.

Задача 21-4. аннигиляция -пары в полете. Этот процесс полностью аналогичен эффекту Комптона, за исключением того, что один из пионов теперь движется вспять во времени.

Рис. 21-4.

Как и ранее, рассмотрим систему отсчета, где (см. рис. 21-4). Покажите, квадрируя уравнение —Ра—что

Тогда

и

Мы видим, что полное поперечное сечение пропорционально и неограниченно растет при . Что это означает? Пусть имеется газ, содержащий пионов на единицу объема. Вероятность на единицу времени того, что движущийся сквозь этот газ со скоростью v, аннигилирует, равна

т. е. является конечной величиной.

Для связанной — -системы (аналогичной позитронию) должно быть равно квадрату волновой функции в начале координат, а есть время жизни системы.